5.3.2.2 Le quotient de Rayleigh

Soit un produit scalaire $g:{\rm I\!R}^m\times{\rm I\!R}^m\to{\rm I\!R}$. Une application bilinéaire symétrique $\varpi:{\rm I\!R}^m\times{\rm I\!R}^m\to{\rm I\!R}$ s'écrit toujours à l'aide de $g$, de façon unique, sous la forme

$$(x,y)\mapsto \varpi(x,y)=g(Ax,y)$$

où $A$ est une application linéaire symétrique (i.e. $g(Ax,y)=g(x,Ay)$). Nous la noterons $A_\varpi$. La proposition suivante est exploitée pour calculer numériquement les valeurs propres des matrices symétriques. Le quotient $\varpi(x,x)/g(x,x)$ s'appelle le quotient de Rayleigh de $\varpi$ et de $g$.

Proposition 32   Si $\varpi$ n'est pas un multiple de $g$ alors

$$x\mapsto\frac{\varpi(x,x)}{g(x,x)}$$

admet sur ${\rm I\!R}^m\setminus\{0\}$ un maximum et un minimum absolus. Ceux-ci sont respectivement la plus petite et la plus grande des valeurs propres de $A_\varpi$ et sont atteints en les vecteurs propres correspondants.

Quitte à changer de base, nous pouvons supposer que $g$ est le produit scalaire usuel de ${\rm I\!R}^m$. La fonction $x\mapsto\varpi(x,x)/g(x,x)$ étant homogène de degré 0, nous pouvons la restreindre à la sphère $S^{m-1}$. Tout revient donc à étudier les extrema éventuels de $f: x\mapsto\varpi(x,x)$ sur celle-ci. La sphère étant compacte et $f$ y étant continu, nous sommes certains qu'il y atteint ses valeurs extrêmes. D'après la règle des multiplicateurs de Lagrange, si $a\in S^{m-1}$ est un des points stationnaires de $f$, il existe $\lambda\in{\rm I\!R}$ tel que

$$A_\varpi a=\frac{1}{2}{\rm grad}_a f=\frac{1}{2}\lambda{\rm grad}_a(\vert x\vert^2-1)=\lambda a.$$

Les extrema de $f$ sont donc atteints en des vecteurs propres $a$ de $A_\varpi$. En un tel point, relatif à la valeur propre $\lambda$, $f(a)=A_\varpi a.a=\lambda\vert a\vert^2=\lambda$.$\qedsymbol$