6.2 Le crochet de Poisson

Le crochet de Poisson est l'application bilinéaire définie sur $C^\infty(T^*M,{\rm I\!R})$ par

$$\{f,g\}=\omega^M(H_f,H_g).$$

Dans une carte canonique, on a donc

$$\{f,g\}=\frac{\partial f}{\partial \xi_i}\frac{\partial g}{\partial x^i}-\frac{\partial g}{\partial \xi_i}\frac{\partial f}{\partial x^i}\cdot$$

On constate ainsi que

$$\{f,g\}=H_f.g=-H_g.f.$$

Proposition 6.2.1   Le crochet de Poissons possède les propriétés suivantes.
a) $[H_f,H_g]=H_{\{f,g\}}$

b) $\{g,f\}=-\{f,g\}$

c) $\oint_{fgh}\{f,\{g,h\}\}=0$

d) $\{f,gh\}=\{f,g\}h+g\{f,h\}$

Preuve. Pour montrer a), nous constatons que les deux membres ont même action sur les fonctions $\tilde{X}$. Voici comment

$$% latex2html id marker 14795\begin{array}{rcl} H_{\{f,g\}}... ..._f.(H_g.\tilde{X})\\ [1ex] &=&[H_f,H_g].\tilde{X}. \end{array}$$

Le point b) est évident. Pour le point c), nous appliquons la formule (15). Il vient

$$% latex2html id marker 14797\begin{array}{rcl} \oint_{fgh}... ... [1ex] &=&-\oint_{fgh}\{f,\{g,h\}\}\\ [1ex] &=&0. \end{array}$$

Quant à d), on peut par exemple écrire

$$% latex2html id marker 14799\begin{array}{rcl} \{f,gh\}&=&... ...&=&(H_f.g)h+g(H_f.h)\\ [1ex] &=&\{f,g\}h+g\{f,h\}. \end{array}$$

$\qedsymbol$

Muni du crochet de Poisson, l'espace $C^\infty(T^*M,{\rm I\!R})$ est donc une algèbre de Lie. On l'appelle l'algèbre de Poisson de $T^*M$.