Le champ d'Euler

Le champ d'Euler de $T^*M$ est le champ de vecteurs ${\mathcal E}$ défini par

$${\mathcal E}_\xi={\frac{d}{dt}{(e^t\xi)}}\vert _{t=0}.$$

En coordonnées canoniques, l'expression locale de la courbe $t\mapsto e^t\xi$ est

$$t\mapsto (x^1,\ldots,x^m,e^t\xi_1,\ldots,e^t\xi_m).$$

Celle de ${\mathcal E}$ est donc

$${\mathcal E}_\xi=\sum_i\xi_i\overline{\partial}_i.$$

Ceci nous permet de vérifier que c'est bien un champs de vecteurs de classe $C^\infty$ et que son flot est bien l'application

$$(t,\xi)\mapsto e^t\xi.$$

C'est pourquoi on l'appelle parfois le champ des homothéties.

Proposition 6.4.1   Le champs d'Euler a les propriétés suivantes
a) ${\mathcal E}^\flat=\alpha^M$

b) $[{\mathcal E},H_f]=-H_f+H_{{\mathcal E}.f}$

c) ${\mathcal E}.\{f,g\}=\{{\mathcal E}.f,g\}+\{f,{\mathcal E}.g\}-\{f,g\}$

où $f,g\in C^\infty(T^*M,{\rm I\!R})$ sont arbitraires.

Preuve. Les propriétés a) et b) sont immédiates à vérifier en coordonnées canoniques. On déduit c) de b) en appliquant les deux membres de ce dernier à $g$. Le membre de gauche donne en effet

$$\begin{array}{lcr} [{\mathcal E},H_f].g={\mathcal E}.\{f,g\}-\{f,{\mathcal E}.g\} \end{array}$$

et tandis que celui de droite fournit

$$\begin{array}{lcr} (-H_f+H_{{\mathcal E}.f}).g=-\{f,g\}+\{{\mathcal E}.f,g\}. \end{array}$$

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