Le centre de l'algèbre de Poisson

Le centre d'une algèbre de Lie $({\mathcal A},[,])$ est l'ensemble des éléments de l'algèbre qui commutent avec toute l'algèbre

$$z({\mathcal A})=\{a\in {\mathcal A}\vert[a,b]=0,\forall b\in {\mathcal A}\}.$$

C'est un idéal, c'est-à-dire un sous-espace vectoriel $I$ de ${\mathcal A}$ tel que $[I,{\mathcal A}]\subset I$. Par définition, il est commutatif: la restriction du crochet de Lie de ${\mathcal A}$ à $z({\mathcal A})$ est nulle.

Proposition 6.2.2   Le centre de l'algèbre de Poisson de $T^*M$ est l'ensemble des fonctions localement constantes. En particulier, si $M$ est connexe, ce sont exactement les constantes.

Preuve. Nous allons voir que si $f$ est dans le centre de l'algèbre de Poisson alors tout point $a\in M$ est contenu dans un ouvert $U$ de $M$ tel que $f\vert _{T^*U}$ soit constant. En fait, il suffit de prendre pour $U$ un domaine connexe de carte de $M$. En effet, les dérivées partielles de l'expression locale de $f$ par rapport aux coordonnées canoniques correspondantes sont nulles puisque

$$% latex2html id marker 14857\begin{array}{rcl} \{f,x^i\}&=... ...ex] \{f,\xi_i\}&=&-\frac{\partial f}{\partial x^i}. \end{array}$$

Elle est donc constante si $U$ est connexe. Par ailleurs, il est clair qu'une fonction localement constante est dans le centre de l'algèbre de Poisson. Enfin, si $M$ est connexe, les fonctions localement constantes sont constantes car l'ensemble des points en lesquels une telle fonction prend une valeur donnée est à la fois ouvert et fermé. S'il n'est pas vide, il coïncide donc avec $M$. $\qedsymbol$