Intégrales premières des équations de mouvement

Soit une fonction $f$ sur $T^*M$, et une courbe intégrale $(I,\gamma)$ du champ Hamiltonien correspondant. On a

$${\frac{d}{dt}{g\circ\gamma}}=H_f.(g\circ\gamma)=\{f,g\}\circ\gamma.$$

En conséquence,

Proposition 6.2.3   Soient $f,g\in C^\infty(T^*M,{\rm I\!R})$. La fonction $g$ est constante le long des courbes intégrales de $H_f$ si et seulement si $\{f,g\}=0$.

Lorsque $\{f,g\}=0$, on dit que les fonctions $f$ et $g$ sont en involution.