L'algèbre de Lie de Heisenberg

Dans une carte canonique,

$$% latex2html id marker 14806\begin{array}{rcl} \{f,x^i\}&=... ...ex] \{f,\xi_i\}&=&-\frac{\partial f}{\partial x^i}. \end{array}$$

On peut donc écrire les équations de mouvement d'un système déterminé par un hamiltonien $f$ sous la forme

$$% latex2html id marker 14810\begin{array}{rcl} \frac{d x^i... ...{f,x^i\}\\ [1ex] \frac{d \xi_i}{dt}&=&\{f,\xi_i\}. \end{array}$$

Cela dit, les fonctions $x^1,\ldots,x^m,\xi_1,\ldots,\xi_m,1$ forment une sous-algèbre de Lie de l'algèbre de Poisson. Sa table de multiplication est donnée par

$$\{x^i,x^j\}=\{\xi_i,\xi_j\}=0, \{\xi_i,x^j\}=\delta_i^j, \{1,x^i\}=\{1,\xi_j\}=0.$$

C'est l'algèbre de Lie $H_{2m+1}$ de Heisenberg.