Le théorème de Darboux

Les propriétés résumées dans le théorème 4.1 sont caractéristiques de la forme symplectique de $T^*M$, du moins localement. Ce fait est connu sous le nom de ``Théorème de Darboux'' dont voici une formulation. Dans celle-ci, une $2$-forme $\omega$ sur ${\mathcal M}$ est une application qui associe à chaque $x\in {\mathcal M}$ une forme bilinéaire antisymétrique $\omega_x$ sur $T_x{\mathcal M}$. On la suppose de classe $C^\infty$, ce qui veut dire que ses composantes $\omega(\partial_i,\partial_j)$ dans les bases locales $(\partial_1,\ldots,\partial_n)$ des cartes de ${\mathcal M}$ sont des fonctions de classe $C^\infty$.

Théorème 5.4.3   Soient une variété ${\mathcal M}$ et une $2$-forme $\omega$ de ${\mathcal M}$. On suppose que les formes $\omega_x, x\in {\mathcal M},$ sont non dégénérées et que

$$\oint_{X,Y,Z}\{X.\omega(Y,Z)-\omega([X,Y],Z)\}=0, \forall X,Y,Z\in Vect({\mathcal M}).$$

Dans ces conditions, ${\mathcal M}$ est de dimension paire $2m$ et admet un atlas formé de cartes $({\mathcal U},(x^1,\ldots,x^m,\xi_1,\ldots,\xi_m))$ dans lesquelles

$$% latex2html id marker 14691\left\{ \begin{array}{rcl} \om... ...\xi^i},\frac{\partial}{\partial \xi^j})&=&0 \end{array}\right.$$

pour tous $i,j\leq m$.

Ainsi, tout ce passe donc comme si ${\mathcal U}$ était le domaine $T^*U$ d'une carte canonique du fibré cotangent d'une variété de dimension $m=\frac 1 2 \dim {\mathcal M}$ et

$$\omega\vert _{\mathcal U}=\omega^M\vert _{T^*U}.$$

Une variété munie d'une $2$-forme vérifiant les hypothèse du théorème de Darboux est ce qu'on appelle une variété symplectique.

La démonstration du théorème de Darboux, assez difficile, sera omise.