5.1 Les fonctions $\tilde{X}$

Soit $X\in Vect(M)$. On note $\tilde{X}\in C^\infty(T^*M,{\rm I\!R})$ la fonction

$$\xi\mapsto \xi(X(\pi_M(\xi))).$$

Il est clair que l'expression locale de $\tilde{X}$ dans la carte canonique associée à la carte $(U,\varphi)$ de $M$ est

$$\tilde{X}(\xi)=\sum_iX^i(x)\xi_i,$$

où les $X^i$ désignent les composantes de $X$ dans la base des $\partial_i$, et $x=\pi_M(\xi)$.

Proposition 5.1.1   Soient $H, K\in Vect(T^*M)$. Si

$$H.\tilde{X}=K.\tilde{X},\forall X\in Vect(M),$$

alors $H=K$.

Preuve. Supposons que $H.\tilde{X}=0$ pour tout $X$ et montrons que $H=0$. Notons

$$H=\sum_i(H^i\partial_i+H_i\overline{\partial}_i)$$

l'expression locale de $H$ dans une carte canonique et

$$X=\sum_iX^i\partial_i$$

celle de $X$ dans la carte à laquelle elle est associée. On a donc

$$\sum_{ij}H^i\partial_iX^j\xi_j+\sum_iH_iX^i=0,\forall X.$$

Fixons $a\in M$ dans le domaine de cette carte. En prenant $X$ égal à $\sum_j\delta^j_i\partial_j$ au voisinage de $a$, on en déduit que $H_i(a,\xi)=0$ pour tout $\xi\in T^*_aM$. En prenant ensuite $X$ égal à $\sum_kx^i\delta^k_j\partial_k$ au voisinage de $a$, il vient alors $H^i(a,\xi)\xi_j=0$. Par conséquent, $H^i(a,\xi)=0$ pour autant que $\xi\neq 0$. On obtient $H^i(a,0)=0$ par continuité. $\qedsymbol$

Remarque 5.1.2   Avec les notations de la preuve ci-dessus, observons que

$$d\tilde{X}=\sum_{ij}\partial_iX^j\xi_j dx^i+\sum_iX^id\xi_i.$$ (5.1)