5.2 Le relèvement complet

Le relèvement complet $X^c$ d'un champ de vecteurs $X$ de $M$ est le champ de vecteurs de $T^*M$ défini par

$$X^c_\xi={\frac{d}{dt}{(\varphi_{-t})^*\xi}}\vert _{t=0}, \forall \xi\in T^*_xM,$$

où $\varphi$ désigne le flot de $X$.

Dans une carte canonique, avec des notations familières, l'expression locale de $X^c$ s'écrit

$$X^c=\sum_i X^i\partial_i-\sum_{ij}\partial_iX^j\xi_j\overline{\partial}_i.$$ (5.2)

En effet, si nous notons $\Phi(t,x)$ l'expression locale du flot de $X$, celle de la courbe $t\mapsto (\varphi_{-t})^*\xi$ de $T^*M$ est

$$(\Phi^1(t,x),\ldots,\Phi^m(t,x),\sum_j\partial_1\Phi^j(-t,x)\xi_j,\ldots,\sum_j\partial_m\Phi^j(-t,x)\xi_j).$$

Son vecteur tangent en $t=0$ est

$$(X^1(x),\ldots,X^m(x),-\sum_j\partial_1X^j\xi_j,\ldots,-\sum_j\partial_mX^j\xi_j).$$

Proposition 5.2.1   Pour tous $X,Y\in vect(M)$,

$$X^c.\tilde{Y}=[X,Y]\ \tilde{ }.$$

Preuve. De fait, si $\xi\in T_x^*M$,

$$% latex2html id marker 14383\begin{array}{rcl} X^c_\xi.\ti... ...varphi(x)}\vert _{t=0}}})\\ [1ex] &=&\xi([X,Y]_x). \end{array}$$

$\qedsymbol$

On peut aussi vérifier la proposition précédente en calculant $X^c.\tilde{Y}=d\tilde{Y}(X^c)$ en coordonnées locales à l'aide des deux formules (12) et (13).

Proposition 5.2.2   Soient $X,Y\in Vect(M)$.
a) Les champs $X^c$ et $X$ sont $\pi_M$-liés.
b) $[X^c,Y^c]=[X,Y]^c$.

Preuve. a) Pour $\xi\in T_x^*M$, on a de fait

$$\pi_M((\varphi_{-t})^*\xi)=\varphi_t(x).$$

En dérivant cette relation par rapport à $t$ en 0, on obtient

$$\pi_{M*}X^c_\xi=X(\pi_M(\xi)).$$

b) Pour tout $Z\in Vect(M)$, on a

$$% latex2html id marker 14412\begin{array}{rcl} [X^c,Y^c].\... ...[[X,Y],Z]\ \tilde{ }\\ [1ex] &=&[X,Y]^c.\tilde{Z}. \end{array}$$

D'où b), vu la proposition 2.1. $\qedsymbol$

Proposition 5.2.3   Soient $\Theta,\Xi\in \Omega_1(T^*M)$. Si

$$\Theta(X^c)=\Xi(X^c),\forall X\in Vect(M),$$

alors $\Theta=\Xi$.

Preuve. Nous procédons comme dans la preuve de la proposition 1.1: on passe en coordonnées canoniques et on exprime l'égalité $\Theta(X^c)=0$ pour des champs de vecteurs $X$ ayant des expressions locales choisies convenablement. Si

$$\Theta=\sum_i(\Theta_i dx^i+\Theta_i d\xi_i)$$

alors

$$\Theta(X^c)=\sum_i\Theta_iX^i+\sum_{ij}\Theta^i\partial_iX^j\xi_j.$$

On continue alors comme dans la preuve en question pour déduire que $\Theta=0$ si $\Theta(X^c)=0$ pour tout $X$ . $\qedsymbol$