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5.2 Le relèvement complet

Le relèvement complet $ X^c$ d'un champ de vecteurs $ X$ de $ M$ est le champ de vecteurs de $ T^*M$ défini par

$\displaystyle X^c_\xi={\frac{d}{dt}{(\varphi_{-t})^*\xi}}\vert _{t=0}, \forall \xi\in T^*_xM,
$

$ \varphi$ désigne le flot de $ X$.

Dans une carte canonique, avec des notations familières, l'expression locale de $ X^c$ s'écrit

$\displaystyle X^c=\sum_i X^i\partial_i-\sum_{ij}\partial_iX^j\xi_j\overline{\partial}_i.$ (5.2)

En effet, si nous notons $ \Phi(t,x)$ l'expression locale du flot de $ X$, celle de la courbe $ t\mapsto (\varphi_{-t})^*\xi$ de $ T^*M$ est

$\displaystyle (\Phi^1(t,x),\ldots,\Phi^m(t,x),\sum_j\partial_1\Phi^j(-t,x)\xi_j,\ldots,\sum_j\partial_m\Phi^j(-t,x)\xi_j).
$

Son vecteur tangent en $ t=0$ est

$\displaystyle (X^1(x),\ldots,X^m(x),-\sum_j\partial_1X^j\xi_j,\ldots,-\sum_j\partial_mX^j\xi_j).
$

Proposition 5.2.1   Pour tous $ X,Y\in vect(M)$,

$\displaystyle X^c.\tilde{Y}=[X,Y]\ \tilde{ }.
$

Preuve. De fait, si $ \xi\in T_x^*M$,

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 14383\begin{array}{rcl}
X^c_\xi.\ti...
...varphi(x)}\vert _{t=0}}})\\  [1ex]
&=&\xi([X,Y]_x).
\end{array}\end{displaymath}

$ \qedsymbol$

On peut aussi vérifier la proposition précédente en calculant $ X^c.\tilde{Y}=d\tilde{Y}(X^c)$ en coordonnées locales à l'aide des deux formules (12) et (13).

Proposition 5.2.2   Soient $ X,Y\in Vect(M)$.
a) Les champs $ X^c$ et $ X$ sont $ \pi_M$-liés.
b) $ [X^c,Y^c]=[X,Y]^c$.

Preuve. a) Pour $ \xi\in T_x^*M$, on a de fait

$\displaystyle \pi_M((\varphi_{-t})^*\xi)=\varphi_t(x).
$

En dérivant cette relation par rapport à $ t$ en 0, on obtient

$\displaystyle \pi_{M*}X^c_\xi=X(\pi_M(\xi)).
$


b) Pour tout $ Z\in Vect(M)$, on a

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 14412\begin{array}{rcl}
[X^c,Y^c].\...
...[[X,Y],Z]\ \tilde{ }\\  [1ex]
&=&[X,Y]^c.\tilde{Z}.
\end{array}\end{displaymath}

D'où b), vu la proposition 2.1. $ \qedsymbol$

Proposition 5.2.3   Soient $ \Theta,\Xi\in \Omega_1(T^*M)$. Si

$\displaystyle \Theta(X^c)=\Xi(X^c),\forall X\in Vect(M),
$

alors $ \Theta=\Xi$.

Preuve. Nous procédons comme dans la preuve de la proposition 1.1: on passe en coordonnées canoniques et on exprime l'égalité $ \Theta(X^c)=0$ pour des champs de vecteurs $ X$ ayant des expressions locales choisies convenablement. Si

$\displaystyle \Theta=\sum_i(\Theta_i dx^i+\Theta_i d\xi_i)
$

alors

$\displaystyle \Theta(X^c)=\sum_i\Theta_iX^i+\sum_{ij}\Theta^i\partial_iX^j\xi_j.
$

On continue alors comme dans la preuve en question pour déduire que $ \Theta=0$ si $ \Theta(X^c)=0$ pour tout $ X$ . $ \qedsymbol$


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2003-11-02