2.2 Application linéaire tangente

L'application linéaire tangente à $f\in C^\infty(M,N)$ en $a\in M$ est l'application linéaire $f_{*a}:T_aM \to T_{f(a)}N$ donnée par

$$f_{*a}{\bf h}:g\in C^\infty(N,{\rm I\!R})\mapsto {\bf h}.(g\circ f)\in {\rm I\!R}.$$

Ainsi définie, l'application linéaire $f_{*a}$ est en effet une $f(a)$-dérivation de $C^\infty(N,{\rm I\!R})$ puisque

$$% latex2html id marker 11828\begin{array}{rcl} (f_{*a}{\bf... ..._{*a}{\bf h}).g)g'(f(a))+g(f(a))((f_{*a}{\bf h})g') \end{array}$$

pour tous $g,g'\in C^\infty(N,{\rm I\!R})$.

Proposition 2.2.1   Si les applications $f':M\to N$ et $f:N\to L$ sont de classe $C^\infty$, alors, pour tout $a\in M$,

$$(f\circ f')_{*a}=f_{*f'(a)}\circ f'_{*a}.$$

Preuve. De fait, pour tout ${\bf h}\in T_aM$ et tout $g\in C^\infty(L,{\rm I\!R})$, il vient

$$% latex2html id marker 11850\begin{array}{rcl} ((f\circ f'... ...circ f)\\ [1ex] &=&(f_{*f'(a)}(f'_{*a}{\bf h})).g \end{array}$$

$\qedsymbol$