4.3.1.2 Les plongements de ${\rm I\!\!\!C}$

Proposition 17   Les solutions de l'équation $x^2+1=0, x\in{\rm I\!H},$ sont les quaternions purs de norme 1.

On a

$$(r+{\bf u})^2=r^2-\vert{\bf u}\vert^2+2r{\bf u}$$

Par conséquent, $(r+{\bf u})^2=-1$ si et seulement si $r{\bf u}=0$ et $r^2-\vert{\bf u}\vert^2=-1$. Il est exclu que $r\neq 0$ car cela entraînerait ${\bf u}=0$ puis $r^2=-1$. Ainsi $r=0$ et $\vert{\bf u}\vert=1$.$\qedsymbol$

Il y a donc une infinité de manières de réaliser ${\rm I\!\!\!C}$ comme sous-algèbre de ${\rm I\!H}$, chaque ${\bf h}\in{\rm I\!H}_{pur}$ de norme 1 donnant un homomorphisme injectif

$$a+bi\in{\rm I\!\!\!C}\mapsto a+bh\in{\rm I\!H}$$

On a choisi de prendre ${\bf h}=\overrightarrow{e}_2$ pour identifier canoniquement ${\rm I\!\!\!C}$ et une sous-algèbre de ${\rm I\!H}$. Pour cette raison, on identifie $\overrightarrow{e}_2$ et le nombre complexe $i$ de la même façon qu'on identifie ci-dessus $1$ à $\overrightarrow{e}_1$. On pose également $j=\overrightarrow{e}_3$ et $k=\overrightarrow{e}_4$ ce qui permet d'écrire tout quaternion $q=(a,b,c,d)$ sous la forme

$$q=a+bi+cj+dk$$

La multiplication des quaternions est alors caractérisée par sa bilinéarité et par la table

$$% latex2html id marker 18012\begin{array}{c\vert\vert c\ve... ...&k&-j\\ \hline j&j&-k&-1&i\\ \hline k&k&j&-i&-1 \end{array}$$

En particulier, pour $z\in {\rm I\!\!\!C}$, on a $jz=\overline{z}j$. Dès lors

$$q=a+bi+cj+dk=u+vj$$

où $u=a+bi,v=c+di\in{\rm I\!\!\!C}$, et la multiplication s'écrit

$$(u+vj)(u'+v'j)=uu'-v\overline{v'}+(uv'+\overline{u'}v)j.$$ (4.1)

En fait, l'écriture $q=u+vj$ présente ${\rm I\!H}$ comme étant l'espace vectoriel complexe ${\rm I\!\!\!C}^2$ muni du produit défini par (6), et admettant la base complexe $(1,j)$.