4.3.1.1 Le plongement de ${\rm I\!R}$ dans ${\rm I\!H}$

L'application $r\in{\rm I\!R}\mapsto {\rm I\!R}\overrightarrow{e}_1\in{\rm I\!H}$ est un homomorphisme d'algèbres. Il est injectif si bien qu'on identifie ${\rm I\!R}$ à la sous-algèbre $\{(r,0)\in{\rm I\!H}\vert r\in{\rm I\!R}\}$ de ${\rm I\!H}$.

Un homomorphisme $f:{\mathcal A}\to{\mathcal A}'$ d'algèbres est une application linéaire qui préserve les multiplications de ${\mathcal A}$ et ${\mathcal A}'$, c'est-à-dire telle que

$$\forall a,b\in{\mathcal A}, f(ab)=f(a)f(b)$$

Une sous-algèbre de l'algèbre ${\mathcal A}$ est un sous-espace vectoriel ${\mathcal A}'$ de ${\mathcal A}$ qui contient les produits de ses éléments:

$$\forall a,b\in {\mathcal A}', ab\in{\mathcal A}'$$

L'image d'un homomorphisme d'algèbres de ${\mathcal A}$ dans ${\mathcal A}'$ est une sous-algèbre de ${\mathcal A}'$.

On convient aussi d'écrire

$$(r,{\bf u})=r+{\bf u}$$

et d'appeler $r$ et ${\bf u}$ la partie réelle et la partie pure de $(r,{\bf u})$ respectivement. L'ensemble des quaternions purs, à savoir ceux dont la partie réelle est nulle, est noté ${\rm I\!H}_{pur}$.

Le conjugué $\overline{q}$ du quaternion $q=r+{\bf u}$ est le quaternion $r-{\bf u}$. Un quaternion est donc réel si et seulement s'il est égal à son conjugué et pur si et seulement s'il est égal à l'opposé de son conjugué. La norme, ou le module, $\vert q\vert$ de $q=(r,{\bf u})\in{\rm I\!H}$ est sa norme euclidienne dans ${\rm I\!R}^4$. Il vient

$$q\overline{q}=(r+{\bf u})(r-{\bf u})=r^2+{\bf u}.{\bf u}=\vert q\vert^2$$

Proposition 16   Le nombre $1$ est un neutre pour la multiplication des quaternions. Un quaternion $q$ est invertible si et seulement s'il n'est pas nul, i.e $\vert q\vert\neq 0$. Lorsque $q\neq 0$,

$$q^{-1}=\frac{\overline{q}}{\vert q\vert^2}$$

En particulier, ${\rm I\!H}$ est un corps.

C'est immédiat.$\qedsymbol$