2.3.3.2 Equations cartésiennes pour $M(p,q,r)$

Le nombre d'équations cartésiennes nécessaires pour décrire $M(p,q,r)\subset ~{\rm I\!R}^{pq}$ est

$$\dim {\rm I\!R}^{pq}- \dim M(p,q,r) = pq-r(p+q-r)=(r-p)(r-q)$$

C'est aussi le nombre de "déterminants bordés" qu'on obtient à partir d'un mineur $A_\alpha$. En effet, on obtient un tel déterminant en ajoutant à $\alpha$ un indice de ligne $i$ et un indice de colonne $j$, ce qui fournit un nouvel ensemble d'indices, $\alpha(i,j)$. Le déterminant bordé correspondant est le mineur associé aux indices de lignes et de colonnes figurant dans cet ensemble. Nous le noterons $A_{\alpha(i,j)}$.

Dans le cas de l'exemple, il y a deux déterminants bordés. Ceux associés à la matrice

$$% latex2html id marker 17241A= \left( \begin{array}{ccc} u&v&w\\ x&y&z \end{array}\right)$$

où $u\neq 0$, sont les déterminants

$$% latex2html id marker 17245\left\vert \begin{array}{cc} u... ...t \begin{array}{ccc} u&w\\ x&z \end{array}\right\vert =uz-wx$$

Rappellons que $\alpha=I\times J$.

Proposition 10   Les équations

$$f_{\alpha,i,j}=0, \ \ i\notin I, j\notin J,$$

où

$$f_{\alpha,i,j}:A\in M_\alpha(p,q)\mapsto A_{\alpha(i,j)}\in{\rm I\!R}$$

constituent des équations cartésiennes de $M_\alpha(p,q,r)$.

D'après un théorème d'algèbre, une matrice $A\in M_\alpha(p,q)$ est de rang $r$ si et seulement si tous les déterminants bordés $A_{\alpha(i,j)}$, $\ i\notin I, j\notin J,$ sont nuls. Il reste à vérifier que les fonctions $f_{\alpha,i,j}$ sont indépendantes, c'est-à-dire que leurs différentielles forment un ensemble de rang $(p-r)(q-r)$ en tout point de $M_\alpha(p,q)$. En fait,

$$f_{\alpha,i,j}=\det\circ \pi_{\alpha,i,j}$$

où $\pi_{\alpha,i,j}$ est la projection de l'espace des matrices à $p$ lignes et $q$ colonnes sur $gl(r+1,{\rm I\!R})$ consistant à prélever d'une matrice celle dont le mineur $A_{\alpha(i,j)}$ est le déterminant et où $\det:gl(r+1,{\rm I\!R})\to {\rm I\!R}$ est le passage au déterminant.

Ainsi, dans l'exemple de $M(2,3,1)$, avec $\alpha=\{(1,1)\}$, $M_\alpha(p,q)$ est l'ensemble des matrices

$$% latex2html id marker 17290A= \left( \begin{array}{ccc} u&v&w\\ x&y&z \end{array}\right)$$

pour lesquelles $u\neq 0$ et $\pi_{\alpha,2,2}$ est l'application

$$% latex2html id marker 17296A\mapsto \left( \begin{array}{cc} u&v\\ x&y \end{array}\right)$$

On a donc

$$(f_{\alpha,i,j})_{*A}H =(\det)_{*\pi... ...i_{\alpha,i,j}(H) =({\rm grad}_{*\pi_{\alpha,i,j}(A)}\det).\pi_{\alpha,i,j}(H)$$

car $\pi_{\alpha,i,j}$ est linéaire, le point désignant le produit scalaire. Pour rappel, voir la sous-section 2.5 du chapitre des préliminaires, le gradient de $\det$ en une matrice $S$ est la matrice des cofacteurs de $S$. Considérons la matrice $H$ dont tous les éléments sont nuls, à l'exception de celui situé sur la ligne $i$ et la colonne $j$ qui vaut $1$. Il est clair que si $(k,l)\neq (i,j)$, alors $\pi_{\alpha,k,l}H=0$ et, donc, $(f_{\alpha,k,l})_{*A}H=0$. D'un autre côté,

$$(f_{\alpha,i,j})_{*A}H=({\rm grad}_{*\pi_{\alpha,i,j}(A)}\det).\pi_{\alpha,i,j}(H)=\pm A_{\alpha(i,j)}\neq 0$$

Les fonctions $f_{\alpha,i,j}, \ i\notin I, j\notin J$, sont donc indépendantes.$\qedsymbol$