1.1.3.3 Le cas des parties des espaces ${\rm I\!R}^n$

Voici deux propriétés permettant de vérifier facilement qu'une application $f:V\subset {\rm I\!R}^m\to W\subset {\rm I\!R}^n$ est continue.

Proposition 2   Une application $f:V\subset{\rm I\!R}^m\to W\subset{\rm I\!R}^n$ est continue si, pour tout $a\in V$, il existe un ouvert $\Omega$ de ${\rm I\!R}^m$ contenant $a$ et une application continue $g:\Omega\to{\rm I\!R}^n$ tels que

$$\forall x\in \Omega\cap V, \ \ f(x)=g(x)$$

Soit un ouvert $\omega$ de $W$. C'est l'intersection de $W$ avec un ouvert $\alpha$ de ${\rm I\!R}^n$. Soient $a\in f^{-1}(\omega)$ et $\Omega$, $g$ comme dans l'énoncé. On a

$$a\in V\cap g^{-1}(\alpha)\subset f^{-1}(\omega).$$

L'ensemble $g^{-1}(\alpha)$ est un ouvert de ${\rm I\!R}^m$ car $g$ est continu. Par conséquent, $V\cap g^{-1}(\alpha)$ est un ouvert de $V$. Il en va de même de $f^{-1}(\omega)$ qui est une union de tels ouverts.$\qed$

Proposition 3   Une application $f:V\subset{\rm I\!R}^m\to W\subset{\rm I\!R}^n$ est continue si pour tout $a\in V$ et pour toute suite $(x_k,k\in{\rm I\!N})$ de points de $V$ qui converge vers $a$ dans ${\rm I\!R}^m$, la suite $(f(x_k),k\in{\rm I\!N})$ converge vers $f(a)$ dans ${\rm I\!R}^n$.

a) Supposons $f$ continu. Soient $a\in V$ et une suite $(x_k,k\in{\rm I\!N})$ de points de $V$ qui converge vers $a$ dans ${\rm I\!R}^m$. Soit $\varepsilon >0$. L'ensemble

$$\omega=W\cap b_o(f(a),\varepsilon)$$

est un ouvert de $W$. Par conséquent, $f^{-1}(\omega)$ en est un de $V$, contenant $a$. Il existe donc un ouvert $\Omega$ de ${\rm I\!R}^m$ tel que $f^{-1}(\omega)=V\cap\Omega$. Puisque $\Omega$ est une union de boules de ${\rm I\!R}^m$, il existe $\delta >0$ tel que

$$a\in V\cap b_o(a,\delta)\subset f^{-1}(\omega)$$

Pour $k$ assez grand, $x_k\in V\cap b_o(a,\delta)$ et, donc $f(x_k)\in b_o(f(a),\varepsilon)$. La suite $(f(x_k),k\in{\rm I\!N})$ converge donc vers $f(a)$ dans ${\rm I\!R}^n$.

b) Inversement, supposons que pour tout $a\in V$ et pour toute suite $(x_k,k\in{\rm I\!N})$ de points de $V$ qui converge vers $a$ dans ${\rm I\!R}^m$, la suite $(f(x_k),k\in{\rm I\!N})$ converge vers $f(a)$ dans ${\rm I\!R}^n$ et montrons que $f$ est continu. Soit un ouvert $\omega=W\cap \Omega$ de $W$. Pour montrer que $f^{-1}(\omega)$ est ouvert dans $V$, on va vérifier que pour tout $a\in f^{-1}(\omega)$, il existe $r>0$ tel que $V\cap b_o(a,r)\subset f^{-1}(\omega)$.

Il s'en suivra que $f^{-1}(\omega)$ est ouvert, comme intersection de $V$ et de l'ouvert de ${\rm I\!R}^m$ formé de l'union des boules ainsi récoltées.

Procédons par l'absurde et supposons qu'il existe $a\in V$ tel que $f(a)\in \Omega$ et tel que pour tout $r>0$, il existe $x\in V\cap b_o(a,r)$ tel que $f(x)\notin\Omega$. En prenant $r=\frac{1}{k+1}, k\in {\rm I\!N}$, on obtient une suite $(x_k,k\in {\rm I\!N})$ de points de $V$ telle que

$$\forall k\in {\rm I\!N}: \ \vert x_k-a\vert< \frac{1}{k+1}\ \&\ f(x_k)\notin \Omega$$

D'où la contradicition car cette suite converge vers $a$ dans ${\rm I\!R}^m$ mais $(f(x_k),k\in {\rm I\!N})$ ne converge pas vers $f(a)$ dans ${\rm I\!R}^n$.$\qedsymbol$