7.4.1.2 Unions finies de semi-intervalles

On étend cette inégalité aux unions finies de semi-intervalles par récurrence sur le nombre total $p$ de semi-intervalles composant $A$ et $B$. Supposons qu'elle soit vraie lorsque $p<k$ et vérifions-la pour $k$ semi-intervalles ($k>1$).

Nous pouvons supposer que $A$ compte au moins deux semi-intervalles et trouver $i$ et $t_0$ tels que chacun des ensembles $A_1=A\cap\{x\vert x_i\geq t\}$ et $A_2=A\cap\{x\vert x_i<t\}$ contienne un des semi-intervalles composant $A$.

Nous pouvons alors partager $B$ en deux unions de semi-intervalles $B_1=B\cap\{x\vert x_i\geq s\}$ et $B_2=B\cap\{x\vert x_i<s\}$ dans les mêmes proportions que $A_1$ et $A_2$, c'est-à-dire de façon telle que $mes(B_1)/mes(B)=mes(A_1)/mes(A)$. Pour voir cela, il suffit d'observer que la fonction

$$u \mapsto mes(B\cap\{x\vert x_i\geq u\})/mes(B)$$

est continue. En effet, pour $u$ assez grand, elle vaut 0 et pour $u$ assez petit, elle vaut $1$. Si elle est continue, elle prend donc toutes les valeurs comprises entre 0 et $1$. La continuité de cette fonction résulte aisément du théorème de Lebesgue, une fois vérifié le fait que la fonction caractéristique de $B\cap\{x\vert x_i\geq u_n\}$ converge presque partout vers celle de $B\cap\{x\vert x_i\geq u\}$ si $u_n\to u$, ce qui est facile.

Il vient, en appliquant l'hypothèse de récurrence à $(A_1,B_1)$ et à $(A_2,B_2)$,

$$mes(A_i+B_i) \geq (\sqrt[m]{mes(A_i)}+\sqrt[m]{mes(B)\frac{mes(A_i)}{mes(A)}}\ )^m$$

$$\geq \frac{mes(A_i)}{mes(A)}(\sqrt[m]{mes(A)}+\sqrt[m]{mes(B)}\ )^m.$$

Donc, puisque $A+B\supset(A_1+B_1)\cup (A_2+B_2)$,

$$mes(A+B) \geq mes(A_1+B_1)+mes(A_2+B_2)$$

$$\geq (\frac{mes(A_1)}{mes(A)}+\frac{mes(A_2)}{mes(A)})(\sqrt[m]{mes(A)}+\sqrt[m]{mes(B)}\ )^m$$

$$\geq (\sqrt[m]{mes(A)}+\sqrt[m]{mes(B)}\ )^m.$$