1.2 Intermède topologique

Une variété différentielle $M$ possède canoniquement une topologie. Si nécessaire, on la notera $\tau_M$. Ses ouverts sont les unions de domaines de cartes de $M$. Les axiomes des ouverts sont faciles à vérifier. Tout d'abord, il est évident qu'une union d'éléments de $\tau_M$ est toujours un élément de $\tau_M$. En utilisant la remarque 1.3, on voit aussi que l'intersection de deux éléments de $\tau_M$ est toujours un élément de $\tau_M$.

La même remarque montre que si $(U,\varphi)$ est une carte de $M$ et si $\omega$ est un ouvert de $\varphi(U)$ alors $\varphi^{-1}(\omega)$ est un ouvert de $M$. En particulier, $\varphi:U\to\varphi(U)$ est continu. En fait, $\varphi:U\to\varphi(U)$ est un homéomorphisme. En effet, $\varphi$ est également une application ouverte: soient un ouvert $\Omega\subset U$ de $M$ et $a\in\Omega$. Il existe une carte $(V,\psi)$ de $M$ dont le domaine contient $a$ et est inclus dans $\Omega$. Elle est compatible avec $(U,\varphi)$. Par conséquent, $\varphi(U\cap V)$ est un ouvert de $\varphi(U)$ contenant $\varphi(a)$ et inclus dans $\varphi(\Omega)$, lequel est donc ouvert.

Remarque 1.2.1   Si $M$ est une variété plongée dans ${\rm I\!R}^m$, alors sa topologie canonique de variété différentiable définie à partir des cartes associées aux paramétrages est la topologie induite.

La vérification est immédiate.