7.5.1.0.1 L'élément de longueur

En particulier, le carré de la longueur du vecteur tangent $\gamma'(t)$ vaut (cf. (36))

$$\vert \gamma'(t) \vert^{2}=A_{\gamma}u'^{2}+2B_{\gamma}u'v'+C_{\gamma}v'^{2},$$

où $\gamma$ et les dérivées de $u$ et de $v$ sont calculées en $t$. L'abscisse curviligne de $\Gamma$ calculée à partir de $P$ vaut donc, dans l'orientation associée au paramétrage $(I,\gamma)$:

$$s=\int_{t_{0}}^{t}\sqrt{A_{\gamma}u'^{2}+2B_{\gamma}u'v'+C_{\gamma}v'^{2}}dt.$$

C'est pourquoi on rencontre souvent la notation

$$ds^{2}=Adu^{2}+2Bdudv+Cdv^{2}.$$

Exemple 7.5.1   Sphère rapportée aux coordonnées sphériques

En désignant par $\lambda$ et $\mu$ les coordonnées sphériques introduites au chapitre $4$, on obtient pour la sphère de rayon $r$:

$$ds^{2}=r^{2}d\lambda^{2}+r^{2}\sin^{2}\lambda d\mu^{2}.$$

Exemple 7.5.2   Cylindre circulaire droit

Figure 11: Cylindre circulaire droit.

Dans un repère orthonormé, la surface d'équation cartésienne (dans le complémentaire de l'axe des $z$) $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ représente un cylindre circulaire droit. Il est l'union des droites Ñles génératrices Ñ perpendiculaires au plan d'équation $z=0$ et s'appuyant sur le cercle de centre $O$ et de rayon $r$ contenu dans ce plan. En dehors d'une génératrice, il est paramétré par

$$x = r\cos\ u$$

$$y = r\sin\ u$$

$$z = v$$

dans $U=]0,2\pi[\times{\rm I\!R}$. On a alors

$$ds^{2}=r^{2}du^{2}+dv^{2}.$$

Remarque 7.5.3   Les formules du paramétrage du cylindre peuvent être utilisées pour définir un systême de coordonnées $(r,u,v)$ dans ${\mathcal E}$. On les appelle les coordonnées cylindriques.