0.2 Systèmes abstraits

La dernière proposition montre que les systèmes de numération décrits ci-dessus sont entièrement caractérisés par le langage de la numération et l'ordre sur l'alphabet. En particulier, s'il est utile pour réaliser des conversions d'un système à un autre, l'algorithme glouton n'est pas indispensable pour définir ces numérations. Fort de cette constatation, il est tentant de définir un système de numération en prescrivant a priori le langage de la numération et un ordre sur l'alphabet avec lequel il est écrit: nous dirons qu'un système de numération abstrait est un triple $S=(\Sigma,<,L)$ formé d'un alphabet $\Sigma$ ordonné par $<$ et d'un langage dénombrable $L$ sur $\Sigma$. L'ordre généalogique permet d'énumérer les éléments de $L$ par ordre croissant: $w_0<w_1<\ldots$ Chaque entier positif ou nul $n$ possède alors une représentation, $r_S(n)$, à savoir l'élément $w_n$ de $L$ dont il est le numéro. L'application réciproque $val_S$ de $r_S$ associe à chaque élément $w_n$ de $L$ sa valeur, $n$.