6.2.4.1 Courbure de Gauss de $SL(p,{\rm I\!R})$

Soit $A\in SL(p,{\rm I\!R})$. Commençons par dériver la normale unitaire (17) dans la direction de $H\in\overrightarrow{ T_ASL(p,{\rm I\!R})}$. On obtient ainsi facilement l'application de Weingarten de $SL(p,{\rm I\!R})$:

$$W_A(H)=N_{*A}H=\frac{-{\rm tr}(\tild... ...de{A}A)^{-1}(A^{-1}H)^\sim)\tilde{A}^{-1}}{({\rm tr}(\tilde{A}A)^{-1})^{3/2}}.$$

En particulier la seconde forme fondamentale de $SL(p,{\rm I\!R})$ est

$$\varpi_A(H,K)=\frac{{\rm tr}(A^{-1}HA^{-1}K)}{\sqrt{{\rm tr}(\tilde{A}A)^{-1}}}.$$

Afin de calculer le déterminant de $W_A$, nous allons procéder à quelques transformations. Elles ont pour effet de remplacer $W_A$ par des applications de même déterminant mais d'expression plus simple. La première consiste à se ramener à l'espace tangent $sl(p,{\rm I\!R})$ en ${\bf 1}$. En notant $\Phi$ l'application $H\in\overrightarrow{T_ASL(p,{\rm I\!R})}\mapsto A^{-1}H\in sl(p,{\rm I\!R})$, on obtient

$$W'_A(H)=(\Phi\circ W_A\circ\Phi^{-1})(H)= \frac{-({\rm tr}{B})B\tilde{H}+{\rm tr}(B\tilde{H})B}{({\rm tr}B)^{3/2}}$$

où $B=(\tilde{A}A)^{-1}$. La seconde transformation exploite le fait que l'on peut donner à $B$, qui est une matrice symétrique définie positive, une forme diagonale $\Delta$ au moyen d'une matrice orthogonale $S$:

$$\Delta=S^{-1}BS=\tilde{S}BS=diag(u_1,\ldots,u_p).$$

Les nombres $u_i$ sont positifs et leur produit vaut $\det B=1$. L'application linéaire $\Psi:H\mapsto SHS^{-1}$ stabilise l'espace des matrices de trace nulle. De plus,

$$W''_A(H)=(\Psi\circ W'_A\circ\Psi^{-... ...lta})\Delta\tilde{H}+{\rm tr}(\Delta\tilde{H})\Delta}{({\rm tr}\Delta)^{3/2}}.$$

Proposition 54   La courbure de Gauss de $SL(p,{\rm I\!R})$ en $A$ est

$$K_A=p(-1)^{(p^2+p+2)/2}({\rm tr}(\tilde{A}A)^{-1}))^{-(p^2+1)/2}.$$

En particulier, elle atteint ses valeurs extrêmes sur $SO(p)$, où elle vaut $\pm 1$.

Pour calculer $K_A=\det W''_A$, nous allons décomposer $sl(p,{\rm I\!R})$ en somme directe

$$sl(p,{\rm I\!R})=E\oplus\bigoplus_{i<j}E_{ij}$$

de sous-espaces stables pour $W''_A$. Le déterminant de ce dernier est le produit des déterminants de ses restrictions aux termes de cettte somme:

$$\det W''_A=\det(W''_A\vert _E)\prod_{ij}\det(W''_A\vert _{E_{ij}}).$$

De plus, afin d'alléger les écritures, nous allons d'abord calculer le déterminant de $T=({\rm tr}\Delta)^{3/2}W''_A$ qu'il suffira ensuite de diviser par une puissance appropriée de $({\rm tr}\Delta)^{3/2}$, la dimension $p^2-1$ de $sl(p,{\rm I\!R})$, pour obtenir $K_A$.

Pour $i<j$, $E_{ij}$ est formé des matrices $H$ de trace nulle dont les éléments $H_{pq}, (p,q)\neq (i,j), (j,i)$, sont nuls. C'est un espace de dimension $2$ admettant une base $(e_1,e_2)$, où $e_1{_{ij}}=e_2{_{ji}}=1$ et $e_1{_{ji}}=e_2{_{ij}}=0$. Dans celle-ci, la restriction de $T$ à $E_{ij}$ est représentée par la matrice

$$% latex2html id marker 21365\left( \begin{array}{cc} 0&-uu_i\\ -uu_j&0 \end{array}\right)$$

où $u={\rm tr}\Delta$.

L'espace $E$ est formé des matrices diagonales $diag(a_1,\ldots,a_p)$ de trace nulle. Il admet la base $(e_1,\ldots,e_{p-1})$ dans laquelle $e_i$ a un $1$ à la place $i$, un $-1$ à la place $p$ et des 0 ailleurs. Dans cette base, $T$ est représenté par la matrice

$$% latex2html id marker 21388diag(u_1,\ldots,u_{p-1}) \left... ...ts\\ u_1-u_p&u_2-u_p&\cdots&u_{p-1}-u_p-u \end{array}\right)$$

En notant que la somme des éléments d'une ligne de la matrice de droite vaut toujours $-pu_p$ et en tenant compte du fait que le produit des $u_i$ vaut $1$, on vérifie facilement que le déterminant du produit ci-dessus est égal à $(-1)^ppu^{p-2}$.

Compte tenu de ce qui précède, on en déduit immédiatement la valeur annoncée pour la courbure de Gauss $K_A$.

Celle-ci atteint une valeur extrême lorsque $u={\rm tr}(\tilde{A}A)^{-1}$ fait de même. La nature de cet extremum dépend de $p$ qui conditionne le signe de $K_A$. En fait, en vertu de l'inégalité entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique,

$$1=\sqrt[p]{u_1\cdots u_p}\leq u/p,$$

l'égalité ayant lieu si et seulement si les $u_i$ sont égaux, à $1$. Ceci arrive exactement quand $\tilde{A}A^{-1}$ est la matrice unité, c'est-à-dire quand $A$ est orthogonal.$\qedsymbol$