6.1 Les champs hamiltoniens

Le champ hamiltonien associé à $f\in C^\infty(T^*M,{\rm I\!R})$ est le champ de vecteurs

$$H_f=-df^\sharp$$

de $T^*M$.

Voici collectées dans un énoncé quelques propriétés des champs hamiltoniens. Elles seront complétées ultérieurement.

Proposition 6.1.1   a) L'application $f\mapsto H_f$ est linéaire.

b) Dans toute carte canonique de $T^*M$,

$$H_f=\sum_i(\frac{\partial f}{\partial \xi_i}\frac{\partial }{\partial x^i}-\frac{\partial f }{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial \xi_i})$$

c) Pour tous $f,g\in C^\infty(T^*M,{\rm I\!R})$, $H_{fg}=fH_g+gH_f$.

d) Pour tout $X\in Vect(M)$, $H_{\tilde{X}}=X^c$.

Preuve. a) et b) sont immédiats. c) découle aussitôt de b). On peut en dire autant de d) que l'on peut aussi démontrer en notant que, pour tout champ de vecteurs $Y$ sur $M$, on a

$$% latex2html id marker 14739\begin{array}{rcl} H_{\tilde{X... ...&=&[X,Y]\ \tilde{ }\\ [1ex] &=&X^c.\tilde{Y}. \qed \end{array}$$

$\qedsymbol$