4.3 Différentielle d'une fonction

La différentielle d'une fonction $f\in C^\infty(M,{\rm I\!R})$ est une fonction $df\in C^\infty(M,T^*M)$. Elle est définie par

$$df(a): {\bf h}\in T_aM\mapsto {\bf h}.f\in {\rm I\!R}.$$

On a donc $\pi_M\circ df=id_M$. Il résulte du théorème 1.1 que l'expression locale de $df$ dans des cartes $(U,\varphi)$ et $(TU,(\varphi,\varphi^{-1*}))$ est donnée par

$$u\in\varphi(U)\mapsto (\partial_1(f\circ\varphi^{-1})(u),\ldots,\partial_m(f\circ\varphi^{-1})(u)).$$

Elle est donc bien de classe $C^\infty$. Le fait que les vecteurs tangents soient des dérivations implique immédiatement la propriété suivante

Proposition 4.3.1   Pour tous $f,g\in C^\infty(M,{\rm I\!R})$, et tous $r,s\in {\rm I\!R}$, on a

$$% latex2html id marker 14157\begin{array}{l} d(rf+sg)=rdf+sdg\\ d(fg)=gdf+fdg \end{array}$$

Nous pouvons à présent expliciter la base duale de la base $(\partial_1,\ldots,\partial_m)$ associée à une carte $(U,\varphi)$. On se souviendra en effet de ce que les composantes $h^i$ de ${\bf h}\in T_aM$ sont données par $h^i={\bf h}.x^i$, où $x^i$ est le passage à la $i$-ème coordonnée locale. Autrement dit, $h^i=dx^i({\bf h})$. La base duale cherchée est donc $(dx^1,\ldots,dx^m)$. Ainsi, étant donnés ${\bf h}\in T_aM$ et $\xi\in T^*_aM$, si $\varphi_*{\bf h}=(h^1,\ldots,h^m)$ et $\varphi^{-1*}\xi=(\xi_1,\ldots,\xi_m)$, alors

$${\bf h}=\sum_ih^i\partial_i$$   , $$\xi=\sum_i\xi_idx^i$$

et

$$\xi({\bf h})=\sum_ih^i\xi_i.$$

Les différentielles de fonctions sont des $1$-formes particulières de $M$, une $1$-forme de $M$ étant une application $\omega$ de classe $C^\infty$ de $M$ dans $T^*M$ telle que $\pi_M\circ\omega=id_M$. On note $\Omega_1(M)$ l'ensemble de ces applications.