4.4 Image réciproque par une application

Soient une application $f$ de classe $C^\infty$ de $M$ dans une variété $N$ et $a\in M$. On note $f^*_a$ l'application linéaire

$$\xi\in T^*_{f(a)}M\mapsto (f_{*a})^*\xi\in T^*_aM.$$

On appelle $f^*_a\xi$ pull-back ou image réciproque de $\xi$ par $f$.

Proposition 4.4.1   (Comportement du pull-back vis-à-vis de la composition)

$$(f\circ g)^*_a=g^*_a\circ f^*_{g(a)}.$$

Preuve. C'est immmédiat. $\qedsymbol$

Notons aussi la propriété suivante

Proposition 4.4.2   Soient $f\in C^\infty(M,N)$, $u\in C^\infty(N,{\rm I\!R})$ et $a\in M$. On a

$$f^*_a(du)=(d(u\circ f))(a).$$

Preuve. De fait, pour tout ${\bf h}\in T_aM$, on a

$$(f^*_a(du))({\bf h})=du(f_{*a}{\bf h})=(f_{*a}{\bf h}).u={\bf h}.(u\circ f)=(d(u\circ f))(a)({\bf h}).$$

$\qedsymbol$