Passage aux composantes et transposition

Notons $\Phi:E\to{\rm I\!R}^m$ le passage aux composantes relatif à une base $(e_1,\ldots,e_m)$ de $E$. Soient $\xi\in E^*$ et $(x^1,\ldots,x^m)\in{\rm I\!R}^m$. On a

$$% latex2html id marker 13981\begin{array}{rcl} (\Phi^{-1*}... ...verrightarrow{e_i}))\\ [1ex] &=&\sum_ix^i\xi(e_i). \end{array}$$

Par conséquent,

Remarque 4.1.1   $\Phi^{-1*}$ transforme $\xi$ en l'élément de ${\rm I\!R}^{m*}$ dont les composantes dans la base duale de la base $(\overrightarrow{e_1},\ldots,\overrightarrow{e_m})$ de ${\rm I\!R}^m$ sont les composantes de $\xi$ dans la base duale de $(e_1,\ldots,e_m)$ de $E$.

Dans la suite, nous rapporterons toujours ${\rm I\!R}^{m*}$ à cette base et nous désignerons ses éléments par la liste $(\xi_1,\ldots,\xi_m)$ de leurs composantes selon celle-ci.