7.4.0.0.2 Observations

a)Puisque $\gamma(I)\subset\Omega$, on a $F(\gamma(t))=0$ pour tout $t\in I$. En dérivant par rapport à $t$, cela donne

$$grad_{P}F.\gamma'(t_{0}) =0.$$ (7.3)

b)Puisque $\gamma (I)\subset \varphi (U)$, il existe des fonctions $u(t)$ et $v(t)$ définies dans $I$ telles que, pour tout $t$,

$$\gamma(t)=\varphi(u(t),v(t)).$$ (7.4)

Figure: $\gamma$ est composé de $\varphi$ et de d'une courbe dans $U$.

Ces fonctions sont de classe $C_{p}$, comme $\gamma$. C'est évident si $(U,\varphi)$ est un paramétrage par des coordonnées, car alors $u(t)$ et $v(t)$ sont simplement deux des coordonnées de $\gamma(t)$ dans un repère de ${\mathcal E}$. Sinon, $(U,\varphi)$ est localement équivalent à un paramétrage par des coordonnées; $u(t)$ et $v(t)$ sont alors de classe $C_{p}$ car ils sont images de deux coordonnées de $\gamma(t)$ par le changement de paramètres exprimant l'équivalence. On a donc, en dérivant aussi par rapport à $t$,

$$\gamma'(t_{0})=\partial_{u_{0}}\varphi \ u'(t_{0})+\partial_{v_{0}}\varphi \ v'(t_{0}),$$ (7.5)

où $\partial_{u_{0}}$ et $\partial_{v_{0}}$ représentent les dérivées par rapport à $u$ et $v$ évaluées en $(u_{0}=u(t_{0}),v_{0}=v(t_{0}))$ respectivement.