5.3.1.0.1 Conservation des produits mixtes et vectoriels

Figure: Réflexion...

Proposition 5.3.3   Si ${\mathcal T}$ est une isométrie positive, alors $\overrightarrow{{\mathcal T}}$ conserve les produits mixtes et vectoriels: pour tous ${\bf u}$, ${\bf v}$, ${\bf w}$, on a

$$[\overrightarrow{{\mathcal T}}({\bf u}),\overrightarrow{{\mathcal T}}({\bf v}),\overrightarrow{{\mathcal T}}({\bf w})] = [{\bf u},{\bf v},{\bf w}],$$

$$\overrightarrow{{\mathcal T}}({\bf u}\wedge{\bf v}) = \overrightarrow{{\mathcal T}}({\bf u})\wedge\overrightarrow{{\mathcal T}}({\bf v}).$$

Preuve. En effet, soit une base orthonormée positive ${\mathcal B}=({\bf e}_1,{\bf e}_2,{\bf e}_3)$ de $\overrightarrow{{\mathcal E}}$. Puisque $\overrightarrow{{\mathcal T}}$ conserve le produit scalaire, $\overrightarrow{{\mathcal T}}({\bf e}_1),\overrightarrow{{\mathcal T}}({\bf e}_2),\overrightarrow{{\mathcal T}}({\bf e}_3)$ forment une base orthonormée positive de $\overrightarrow{{\mathcal E}}$. On a donc

$$[\overrightarrow{{\mathcal T}}({\bf ... ...errightarrow{{\mathcal T}}({\bf e}_j),\overrightarrow{{\mathcal T}}({\bf e}_k)] = [{\bf e}_i,{\bf e}_j,{\bf e}_k]$$

et

$$\overrightarrow{{\mathcal T}}({\bf e}_i)\wedge\overrightarrow{{\mathcal T}}({\bf e}_j) = \overrightarrow{{\mathcal T}}({\bf e}_i\wedge{\bf e}_j)$$

pour tous $i, j, k \in \{1,2,3\}$ car les produits mixtes ou vectoriels des éléments d'une base s'expriment de la même façon dans toutes les bases orthonormées positives (Proposition 3.7). D'où la propriété puisque les égalités à démontrer sont linéaires en ${\bf u}$, ${\bf v}$, ${\bf w}$.$\qed$