0.1.3 Une généralisation

Les systèmes de numération classiques et le système de Zeckendorf appartiennent à une vaste famille de systèmes exploitant le principe de la numération de position. Soit une suite ${\bf U}=\{U_n,n\in{\rm I\!N}\}$ strictement croissante d'entiers, avec $U_0=1$. En appliquant l'algorithme ``glouton'' à un entier positif $n$, on obtient une décomposition de $n$ de la forme(^0.4)

$$n=\sum_0^{r-1}a_iU_i.$$

Voici comment cela fonctionne. On détermine $r$ de manière à avoir

$$U_{r-1}\leq n<U_r.$$

On procède alors à la division euclidienne de $n$ par $U_{r-1}$:

$$n=aU_{r-1}+b, \ 0\leq b<U_{r-1}.$$ (0.2)

La représentation $r_{\bf U}(n)=a_{r-1}\cdots a_0$ de $n$ comporte $r$ lettres et $a_{r-1}=a$ en est la première (celle la `plus à gauche'). Si la représentation de $b$ est $a_{s-1}\cdots a_0$, où, nécessairement, $s<r$, alors on complète celle de $n$ en posant $a_{r-2}=\cdots=a_{s}=0$ lorsque $s<r-1$.