Langage de numération régulier

Nous ne donnerons pas de conditions nécessaires et suffisantes, en terme des $U_i$, sous lesquelles le langage de numération associé à une suite $U_n$ dont le quotient $\frac{U_r}{U_{r-1}}$ est borné, est régulier sur l'alphabet des chiffres. Voici au moins une condition nécessaire(^0.5).

Proposition 0.1.2   Si le langage de numération associé à une suite strictement croissante d'entiers ${\bf U}=\{U_n,\ n\in{\rm I\!R}\}$, telle que $U_0=1$ et $\frac{U_r}{U_{r-1}}$ est borné est régulier, alors ${\bf U}$ solution d'une équation de récurrence linéaire à coefficients constants et entiers.

Preuve. En effet, il résulte de la définition de la représentation d'un nombre $n$ que celle-ci comporte $r$ lettres exactement si et seulement si $U_{r-1}\leq n<U_r$. Il y a donc $u_r=U_r-U_{r-1}$ mots de longueur $r$ dans le langage de numération associé à ${\bf U}$. S'il est régulier, alors la suite des $u_n$ est solution d'une équation de récurrence linéaire à coefficients entiers et constants. Il en va donc de même de ${\bf U}$.$\qed$

Pour la numération de position classique en base $k$, la relation de récurrence est tout simplement $U_{n+1}=kU_n, U_0=1$.

Les systèmes basés sur un nombre de Pisot ont un langage de numération régulier. Nous ne vérifierons pas cette propriété qui donne une collection importante de systèmes pour lesquels la réciproque de la proposition précédente est donc vraie. Pour rappel, un nombre de Pisot est un entier algébrique plus grand que $1$ et dont les conjugués sont de module plus petit que $1$(^0.6).

Les entiers plus grands que $1$ sont des nombres de Pisot; le nombre d'or $\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ en est un aussi. Son polynôme minimum est $t^2-t-1$. Son second zéro est $-\frac{1}{\phi}$.