0.3 Quelques propriétés de la numération en base $k$

Nous allons illustrer certaines questions de la sous-section lorsque le système $S$ est le système de numération de position associé à une base $k$ en présentant quelques propriétés élémentaires des ensembles d'entiers $S$-reconnaissables. Nous remplacerons les notations $val_S$ et $r_S$ par $val_k$ et $r_k$ respectivement et nous utiliserons ``$k$-reconnaissable'' à la place de ``$S$-reconnaissable''.

La numération en base $k$ possède une propriété importante. Supposons que $uv$ soit un mot du langage () de la numération. Le mot $u$ appartient toujours à ce langage car il ne commence pas par 0. Si $v$ ne commence pas par 0 non plus, alors il appartient aussi à () et

$$val_k(uv)=val_k(u)k^{\vert v\vert}+val_k(v).$$

Si $v=0^sw$ où $w$ appartient à (), $s>0$, il faut remplacer $val_k(v)$ par $val_k(w)$ dans cette formule. On peut uniformiser celle-ci en convenant d'étendre $val_k$ en posant dans ce cas $val_k(v)=val_k(u)$, ce que nous ferons désormais. Par exemple,

$$% latex2html id marker 3286\begin{array}{rllll} val_{10}(1... ...}(41)\\ [1ex] &=&val_{10}(12)10^3&+&val_{10}(041). \end{array}$$

Dans la suite de cette section, nous considérons une partie $X\subset{\rm I\! N}$. Nous rangeons ses éléments par ordre croissant: $x_0<x_1< \ldots$