0.1.1 introduction

Un système de numération est un moyen de représenter les nombres par des mots: c'est une bijection de ${\rm I\!N}$ sur un langage, le langage de la numération (^0.1).

Traditionnellement, les nombres sont représentés en les décomposant selon les puissances d'un entier $k>1$, la base du système de numération. Lorsque $k=10$, par exemple, le mot $345$ représente $3.10^2+ 4.10^1 + 5.10^0$, les chiffres $3, 4$ et $5$ représentant respectivement les nombres trois, quatre et cinq. En général, la représentation en base $k$ d'un entier $n$ est le mot $a_{r-1}\cdots a_0$, écrit sur l'alphabet $\{0,\ldots,k-1\}$, tel que

$$n=\sum_0^{r-1}a_ik^i.$$

Les chiffres - c'est ainsi que l'on nomme dans ce cas les lettres de l'alphabet, représentent les $k$ premiers entiers, comptés à partir de zéro. C'est leur position dans le mot qui détermine de quelle puissance de $k$ ils sont coefficients. C'est pourquoi on dit que l'on a affaire à une numération de position. Le langage de la numération est régulier. Il est décrit par l'expression régulière

$$\{0\}\cup\{1,\ldots,k-1\}\{0,\ldots,k-1\}^*.$$ (0.1)