0.3.2 Les limites $\limsup$ et $\liminf$

On associe à chaque suite $\{u_i,i\in{\rm I\!N}\}$ de nombres réels deux nombres, éventuellement $+\infty$ ou $-\infty$: $\limsup_i u_i$ et $\liminf_i u_i$. Ils sont égaux si et seulement si la suite converge, auquel cas leur valeur commune est la limite de la suite.

Lorsque $\{u_i,i\in{\rm I\!N}\}$ est borné supérieurement, la suite

$$n\mapsto\sup_{i\geq n}\{u_i\}$$

est décroissante (au sens large). Si elle est bornée inférieurement, elle converge sinon, elle tend vers $-\infty$. Dans les deux cas, on pose

$$\limsup_i u_i=\lim_{n\to+\infty}\sup_{i\geq n}\{u_i\}.$$

Si la suite $u_i$ n'est pas bornée supérieurement, alors $\sup_{i\geq n}\{u_i\}=+\infty$ et on pose $\limsup_i u_i=+\infty$. Une discussion analogue dans laquelle ``sup'' est remplacé par ``inf'' conduit à poser

$$\liminf_i u_i=\lim_{n\to+\infty}\inf_{i\geq n}\{u_i\}$$

en convenant que le membre de droite vaut $-\infty$ si la suite $u_i$ n'est pas bornée inférieurement.

Proposition 0.3.3   La suite $u_i$ admet des sous-suites convergentes $u'_i$ et $u''_i$ telles que

$$% latex2html id marker 3445\left\{ \begin{array}{ccc} \lim... ...i u_i\\ [1ex] \lim_i u''_i&=&\liminf_i u_i \end{array}\right.$$

Elle converge si seulement si ces limites sont égales.

Preuve. L'existence des suites $u'_i$ et $u''_i$ est immédiate. Si la suite $u_i$ converge, ces sous-suites le font aussi, vers la même limite. Pour tout $n$, on a

$$\inf_{i\geq n}\{u_i\}\leq u_n \leq\sup_{i\geq n}\{u_i\}.$$

Ceci montre que, réciproquement, si $\liminf_i u_i=\limsup_i u_i$, alors la suite $u_i$ converge, vers cette valeur commune. $\qed$

Par exemple, pour $u_i=1/i, (-1)^i,i$ et $-i$, on a respectivement $\limsup_i u_i=0,1,+\infty$ et $-\infty$ et $\liminf_i=0,-1,+\infty$ et $-\infty$.