1.1.3.2 Application continue

En topologie générale les applications continues sont définies à l'aide de la notion d'image réciproque. Soient des espaces topologiques $(X,{\mathcal T})$ et $(Y,{\mathcal U})$. Une application $f:X\to Y$ est continue si l'image éciproque par $f$ de tout ouvert de $(Y,{\mathcal U})$ est un ouvert de $(X,{\mathcal T})$. En formules

$$\forall \omega\in{\mathcal U}, \ \ f^{-1}(\omega)\in{\mathcal T}$$

Ceci s'écrit aussi

$$f^{-1}({\mathcal U})\subset {\mathcal T}$$

mais c'est un peut plus abstrait que la formulation précédente. Le lecteur devrait s'assurer qu'il a bien compris l'équivalence des deux formules.

Proposition 1   Soient des espaces topologiques $(X,{\mathcal T}),(y,{\mathcal U})$ et $(Z,{\mathcal V})$. Si les applications $f:X\to Y$ et $g:Y\to Z$ sont continues alors leur composée $g\circ f:X\to Z$ l'est également.

On utilise (1). Soit $\omega\in{\mathcal V}$. Par continuité de $g$, $g^{-1}(\omega)$ appartient à ${\mathcal U}$. La continuité de $f$ montre alors que

$$(g\circ f)^{-1}(\omega)=f^{-1}(g^{-1}(\omega))\in{\mathcal T}$$

$\qedsymbol$