7.7.0.1.1 Discussion

Comme en dimension $2$ (cf. (4.3)), l'équation la plus générale du second degré en ${\bf x}=(x_{1},x_{2},x_{3})$ s'écrit sous la forme

$$A{\bf x}.{\bf x}+2{\bf b}.{\bf x}+c=0,$$

où $c$ un nombre, ${\bf b}$ un élément de ${\rm I\!R}^{3}$ et $A$ est une matrice symétrique, carrée de dimension $3$, non nulle. Elle est donc diagonalisable par une matrice que l'on peut choisir orthogonale et de déterminant $1$ si on le souhaite. Ceci permet, comme dans le cas des courbes du second degré, de trouver un repère dans lequel l'équation s'écrit

$$\alpha_{1}x_{1}^{2}+\alpha_{2}x_{2}^{2}+\alpha_{3}x_{3}^{2}+ 2\beta_{1}x_{1}+2\beta_{2}x_{2}+2\beta_{3}x_{3}+\gamma=0.$$

Les remarques a) et b) que l'on a faites à l'occasion de la discussion des équations à deux variables (4.3) s'appliquent ici. On peut en ajouter une qui n'était pas pertinente à cet endroit:

c)Si un des $\beta_{i}$ n'est pas nul, alors on peut supposer qu'il n'y en a qu'un.

En effet, il suffit de remplacer $x_{i}$ par la somme $x_{i}'$ des termes du premier degré figurant dans l'équation.