Le fibré des $s$-densités

Il est clair que l'union des espaces ${\rm I\!F}_s(T_xM)$, $x\in M$, est un fibré vectoriel au-dessus de la variété $M$. Il est de rang $1$. On le note ${\rm I\!F}_s(TM)$. Si $(U,(x¹,\ldots,x^m))$ est une carte de $M$ alors,

$$% latex2html id marker 401\varphi=f\vert dx^1\wedge\cdots\... ...\vert^s\in{\rm I\!F}_s(T_xM)\mapsto (x,f)\in U\times{\rm I\!R}$$

en est une trivialisation au-dessus de $U$. Pour $s=0$, ${\rm I\!F}_s(TM)$ est le fibré trivial $M\times {\rm I\!R}$.

Nous noterons ${\mathcal F}_s(M)$ l'espace des sections $\Gamma^\infty({\rm I\!F}_s(TM))$ de ce fibré. Nous les appellerons champs de $s$-densités, voire $s$-densités ou densités si aucune confusion n'en résulte. On a ${\mathcal F}_0(M)=C^\infty(M)$.

Par définition, la dérivée de Lie $L_X\varphi$ d'un champ de $s$-densités $\varphi$ dans la direction d'un champ de vecteurs $X$ est le champ de $s$-densités

$$L_X\varphi={\frac{d{\Phi^*_t(\varphi)}}{dt}}\vert _{t=0},$$

où $\Phi_t$ est le flot de $X$.

Proposition 0.2   Si, dans une carte $(U,(x¹,\ldots,x^m))$,

$$\varphi_{\vert U}=f\vert dx^1\wedge\cdots\wedge dx^m\vert^s,$$

où $f\in C^\infty(U)$, alors

$$% latex2html id marker 129L_X\varphi_{\vert U}=(X.f+s\ {\rm tr\ }\partial X f)\vert dx^1\wedge\cdots\wedge dx^m\vert^s.$$ (1)

Preuve. Observons que la fonction $f$ est la valeur de $\varphi$ sur le champ de tenseurs $\partial_1\wedge\cdots\wedge\partial_m$. Le coefficient de $L_X\varphi_{\vert U}$ selon $\vert dx^1\wedge\cdots\wedge dx^m\vert^s$ est donc la dérivée en $t=0$ de

$$f\circ \Phi_t\vert(dx^1\wedge\cdots\wedge dx^m)({\Phi_t}_*(\... ...ge\partial_m))\vert^s=f\circ \Phi_t\vert\det{\Phi_t}_*\vert^s.$$

La formule annoncée en découle aussitôt si on remarque que $\det{\Phi_t}_*$ est positif pour $t$ assez voisin de $0$. $\hspace*{\fill}\rule{2mm}{2mm}$

Il est à présent immédiat de vérifier que muni de la dérivée de Lie $L$, ${\mathcal F}_s(M)$ est une représentation de l'algèbre de Lie des champs de vecteurs de $M$ et que, de plus, si $\varphi$ est une $s$-densité et $\psi$ est une $t$-densité, alors $\varphi\psi$ est une $(s+t)$-densité et, pour tout champ de vecteurs $X$,

$$L_X(\varphi\psi)=L_X(\varphi)\psi+\varphi L_X(\psi).$$

Il suffit pour cela d'effectuer les calculs dans une carte arbitraire de $M$.

Proposition 0.3   a) Les fibrés ${\rm I\!F}_s(TM)$ sont triviaux.
b) Le fibré ${\rm I\!F}_s(TM)$ admet une section naturelle partout non nulle si et seulement si $s=0$.
c) Les sections naturelles de ${\rm I\!F}_s(TM)$ sont les fonctions constantes.

Preuve. Considérons une partition de l'unité $\alpha_i$ subordonnée à un recouvrement ouvert localement fini de $M$ par des domaines de cartes $U_i$. Notons $\varphi_i$ le champ de $s$-densités $\vert dx^1\wedge\cdots\wedge dx^m\vert^s$ associé aux coordonnées locales définies dans $U_i$. Les densités $\varphi_i(x), x\in U_i,$ sont toutes (strictement) positives. On obtient alors un champ de $s$-densités

$$\sum_i\alpha_i\varphi_i$$

qui ne s'annule en aucun point de $M$. Ceci prouve a).

Supposons que les dérivées de Lie $L_X\varphi$ d'un champs de $s$-densités $\varphi$ soient nulles. La formule (1) montre que si $\varphi_x\neq 0$ alors $s=0$, ce qu'on voit en choisissant $X$ de façon que $X_x=0$ et ${\rm tr\ }\partial X (x)\neq 0$. Les points b) et c) en découlent aussitôt. $\hspace*{\fill}\rule{2mm}{2mm}$