Les modules ${\mathcal F}_s(M)$

Etudions à présent les représentations ${\mathcal F}_s(M)$ de l'algèbre de Lie ${\rm Vect}(M)$.

Proposition 0.4   Les ${\rm Vect}(M)$-modules ${\mathcal F}_s(M)$ et ${\mathcal F}_t(M)$ sont isomorphes si et seulement si $s=t$.

Preuve. On peut supposer que $t\neq 0$. D'après le lemme ci-dessous, un isomorphisme $T:{\mathcal F}_s(M)\to{\mathcal F}_t(M)$ est une application locale. D'après le théorème de Peetre, c'est donc, localement, un opérateur différentiel. Nous sommes ainsi ramenés à étudier les opérateurs différentiels $T:C^\infty({\rm I\!R}^m)\to C^\infty({\rm I\!R}^m)$ vérifiant identiquement

$$% latex2html id marker 407T(X.f+s{\rm tr\ }\partial X f)=X.T(f)+t{\rm tr\ }\partial X T(f).$$

Exprimée pour des champs de vecteurs constants, cette relation montre que les coefficients de $T$ sont constants. Les champs de vecteurs du premier degré, indivergentiels, montrent que, comme polynôme en $\xi\equiv df$, $T$ est invariant sous l'action de $sl(m,{\rm I\!R})$. Par conséquent, $T$ est la multiplication par une constante, non ulle, $a$. (¹) L'égalité ci-dessus se résume alors à

$$% latex2html id marker 408s{\rm tr\ }\partial X=t{\rm tr\ }\partial X, \forall X\in{\rm Vect}(M)$$

qui équivaut à $s=t$. $\hspace*{\fill}\rule{2mm}{2mm}$

Lemme 0.5   Si $t\neq 0$, toute application ${\rm Vect}(M)$-equivariante $T:{\mathcal F}_s(M)\to{\mathcal F}_t(M)$ est locale.

Preuve. Soient un ouvert $U$ de $M$ et une $s$-densité $\varphi$ nulle dans $U$. Supposons que $T(\varphi)_a\neq 0$ pour un certain point $a\in U$. Il existe un champ de vecteur $X$, à support compact dans $U$, nul en $a$ et pour lequel ${\rm tr\ }(\partial X)_a$, exprimé dans des coordonnées locales au voisinage de $a$, ne soit pas nul. Autrement dit, $(L_XT(\varphi))_a\neq 0$ (cf. (1)). Cependant, $L_X\varphi=0$ de sorte que

$$L_XT(\varphi)=T(L_X\varphi)=0,$$

une contradiction. $\hspace*{\fill}\rule{2mm}{2mm}$

Proposition 0.6   Le module ${\mathcal F}_1(M)$ est isomorphe à $\Omega_m(M)$ si et seulement si $M$ est orientable.

Preuve. Si $M$ est orienté par la forme $\omega$, alors $\vert\omega\vert$ est une $1$-densité de $M$ qui ne s'annule en aucun point et $f\omega\mapsto f\vert\omega\vert$, $f\in C^\infty(M)$, est un isomorphisme de $\Omega_m(M)$ sur ${\mathcal F}_1(M)$.

Inversement, soit $T$ un tel isomorphisme. Une variante immédiate du lemme précédent montre que $T$ est un opérateur diffrérentiel d'ordre $0$. Soit une section partout non nulle $\varphi$ de ${\mathcal F}_1(M)$. La forme $\omega=T^{-1}(\varphi)$ ne s'annule en aucun point de $M$. En effet, si elle s'annulait en $a$, il en irait de même de $\varphi=T(\omega)$ puisque $T$ est d'ordre $0$. $\hspace*{\fill}\rule{2mm}{2mm}$