Divergence et connexion

Notons $\nabla$ une dérivée covariante de $M$, de torsion nulle. On lui associe l'application

$$% latex2html id marker 419X\in{\rm Vect}(M)\mapsto\gamma^\nabla(X)={\rm tr\ }\nabla X\in C^\infty(M).$$

On voit facilement qu'en coordonnées locales,

$$% latex2html id marker 420\gamma^\nabla(X)={\rm tr\ }\partial X+\Gamma^i_{ij}X^j,$$

les $\Gamma^k_{ij}$ étant les symboles de Christoffel de $\nabla$.

Proposition 0.11   a) Il existe une $2$-forme différentielle fermée $\omega^\nabla$ de $M$ telle que

$$L_X\gamma^\nabla(Y)-L_Y\gamma^\nabla(X)-\gamma^\nabla([X,Y])=\omega^\nabla(X,Y).$$

b) Si $\nabla$ est la dérivation covariante associée à la connexion de Levi-Civita d'une métrique riemannienne de $M$, alors $\omega^\nabla$ est nul et $\gamma^\nabla$ est une divergence de $M$.
c) La classe de cohomologie de de Rham de $\omega^\nabla$ est indépendante de $\nabla$ et donc nulle.

Preuve. Le point a) résulte immédiatement de l'expression de $\gamma^\nabla$ en coordonnées locales. On remarquera d'ailleurs que la forme $\omega^\nabla$ s'exprime à l'aide de la courbure de $\nabla$ par la formule

$$% latex2html id marker 179\omega^\nabla(X,Y)={\rm tr\ }R^\nabla(X,Y),$$ (2)

ce qu'on voit avec un peu de calcul. Le point c) résulte de b) et de ce que la différence entre deux dérivations covariantes (de torsion nulle) $\nabla'$ et $\nabla$ est de la forme

$$\nabla'_XY-\nabla_XY=S(X,Y)$$

où $S$ est un tenseurs de type $(^1_2)$, symétrique. Si on note $\alpha$ la $1$-forme $\iota_XS$ de $M$, alors

$$\omega^{\nabla'}=\omega^\nabla+d\alpha.$$

Enfin, le point b) résulte de la formule (2) et du fait que la courbure de la connexion de Levi-Civita est à valeurs dans les applications antisymétriques, dont la trace est nulle. $\hspace*{\fill}\rule{2mm}{2mm}$

En conclusion, on voit qu'une dérivation covariante donne un opérateur différentiel qui est une divergence quand elle est associée à une métrique riemannienne et qui peut être corrigée par une $1$-forme pour devenir une divergence dans le cas général.

Remarquons par ailleurs que, si $M$ est orienté par une forme $\omega$, on construit une divergence par la formule

$$div_\omega(X)\omega=L_X\omega.$$

Celle-ci n'est autre que la restriction de la codifférentielle aux tenseurs de degré $1$.