La divergence

Le fait que les modules ${\mathcal F}_s(M)$ ne soient pas isomorphes se traduit par l'existence d'une classe de cohomologie non nulle de ${\rm Vect}(M)$ à coefficients dans $C^\infty(M)$. On l'obtient en considérant que ${\mathcal F}_s(M)$ est une déformation de ${\mathcal F}_0(M)=C^\infty(M)$.

Fixons une section sans zéro $\varphi_0$ de ${\mathcal F}_1(M)$, à valeurs non négatives (²). On en déduit une section sans zéro $\varphi_0^s:\Lambda\mapsto \varphi_0(\Lambda)^s$ de ${\mathcal F}_s(M)$ et une bijection $\tau_0:f\in C^\infty(M)\mapsto f\varphi_0^s\in{\mathcal F}_s(M)$.

Proposition 0.7   a)Il existe un $1$-cocycle $\gamma:{\rm Vect}(M)\to C^\infty(M)$ tels que

$$\tau_0^{-1}\circ L_X\circ\tau_0: f\mapsto X.f+s\gamma(X) f.$$

b)L'application $X\to\gamma(X)$ est un opérateur différentiel de symbole $\xi\mapsto \langle X,\xi\rangle$.
c) La classe de cohomologie de $\gamma$ est indépendante de $\varphi_0$.

Preuve. Dans une carte $(U,(x^1,\ldots,x^m))$ de $M$, on a $\varphi_0=u\vert dx^1\wedge\cdots\wedge dx^m\vert$, où la fonction $u$ est partout positive sur $U$. Dans cet ouvert, on a donc

$$\begin{eqnarray*} % latex2html id marker 157(\tau_0^{-1}\circ L_X\circ\tau_0)(... ...r\ }\partial X fu^s)\\ &=&X.f+s({\rm tr\ }\partial X+X.\ln u)f. \end{eqnarray*}$$

Ceci démontre a) et b). Pour c), on constate que si on remplace $\varphi_0$ par $\varphi_0'$, alors $\gamma$ est remplacé par

$$\gamma+d\ln(\frac{\varphi_0'}{\varphi_0}).\hspace*{\fill}\rule{2mm}{2mm}$$

La classe de cohomologie $div_M$ de $\gamma$ s'appelle la classe de la divergence. Un quelconque de ses représentants pouvant s'appeler une divergence. Pour rappel,

Proposition 0.8   Le premier espace de cohomologie de ${\rm Vect}(M)$ à valeurs dans $C^\infty(M)$ vaut

$$% latex2html id marker 412H^1({\rm Vect}(M),C^\infty(M))={\rm I\!R}div_M\oplus H^1_{DR}(M).$$

Concernant une divergence arbitraire de $M$, la propriété suivante peut être utile.

Proposition 0.9   Si $\gamma$ est une divergence de $M$, alors il existe un atlas de $M$ dans toute carte duquel

$$% latex2html id marker 413\gamma(X)={\rm tr\ }\partial X,\ \forall X\in{\rm Vect}(M).$$

Preuve. D'après ce qui précède, dans toute carte $(U,(x^1,\ldots,x^m))$ de $M$,

$$% latex2html id marker 414\gamma(X)={\rm tr\ }\partial X + \alpha(X),\ \forall X\in{\rm Vect}(M),$$

où $\alpha$ est une $1$-forme fermée de $U$. Si celui-ci est contractile, on peut supposer qu'elle est la différentielle d'une fonction $u$. Etant donné $a\in U$, la forme différentielle $\omega=e^udx^1\wedge\cdots\wedge dx^m$ ne s'annulant en aucun point de $U$, on peut trouver des coordonnées locales $y^i$ dans un voisinage de $a$ dans lesquelles (cf. le lemme ci-dessous)

$$\omega=dy^1\wedge\cdots\wedge dy^m.$$

En calculant la dérivée de Lie $L_X\omega$ dans les deux systèmes de coordonnées, on obtient

$$% latex2html id marker 416L_X\omega=(X.u+{\rm tr\ }\partial X)\omega=({\rm tr\ }\overline{\partial}X) \omega,$$

où $\partial$ et $\overline{\partial}$ représentent les dérivées selon les $x^i$ et les $y^j$ respectivement. Ainsi, dans les nouvelles coordonnées, $\gamma$ à la forme indiquée. $\hspace*{\fill}\rule{2mm}{2mm}$

Pour être complet, nous établissons la propriété suivante, bien classique.

Lemme 0.10   Si $\omega\in\Omega_m(M)$ ne s'annule pas en $a$, alors il existe une carte de $M$ au voisinage de $a$ dans laquelle

$$\omega = dx^1\wedge\cdots\wedge dx^m.$$

Preuve. Dans une carte quelconque de $M$ au voisinage de $a$, $\omega$ s'écrit

$$\omega =f dx^1\wedge\cdots\wedge dx^m$$

où $f$ est une fonction de classe $C^\infty$ qui ne s'annule pas en $a$. Si $F$ en est une primitive par rapport à $x^1$, alors $(y^1=F(x),y^2=x^2,\ldots,y^m=x^m)$ est un nouveau système de coordonnées locales de $M$ au vosinage de $a$, dans lequel $\omega$ prend la forme voulue. $\hspace*{\fill}\rule{2mm}{2mm}$