L'espace ${\rm I\!F}_s(V)$

Une $s$-densité sur un espace vectoriel $V$ de dimension finie $m$ est une application $\varphi : \wedge^mV\setminus\{0\} \to {\rm I\!R}$ qui est homogène de poids $s$, c'est-à-dire telle que

$$\varphi(u\Lambda)=\vert u\vert^s\varphi(\Lambda)$$

pour tout $u\in{\rm I\!R}\setminus\{0\}$ et tout $\Lambda\in\wedge^mV\setminus\{0\}$. L'ensemble de ces applications est visiblement un espace vectoriel, sous-espace de l'espace des applications de $\wedge^mV\setminus\{0\}$ dans ${\rm I\!R}$. On le note ${\rm I\!F}_s(V)$. Lorsque $s=0$, c'est ${\rm I\!R}$.

Proposition 0.1   L'espace ${\rm I\!F}_s(V)$ est de dimension $1$. Si $\omega\in\wedge^mV^*$ n'est pas nul, alors

$$% latex2html id marker 399\vert\omega\vert^s:{\bf v}_1\wed... ...e {\bf v}_m \to \vert\omega({\bf v}_1,\ldots,{\bf v}_m)\vert^s$$

en est une base.

Preuve. Il est clair que $\vert\omega\vert^s$ est une $s$-densité sur $V$. Par ailleurs, si $\Lambda_0$ est une base de $\wedge^mV$, alors, pour toute $s$-densités $\varphi, \psi$ sur $V$, il est évident que

$$\varphi=\frac{\varphi(\Lambda_0)}{\psi(\Lambda_0)}\psi.\hspace*{\fill}\rule{2mm}{2mm}$$