. Nous notons (A,B,C) ses sommets. Lorsque
est un espace euclidien, nous notons aussi a,b,c les mesures de ses côtés et α,β,γ
celles de ses angles, conformément à la figure 2.
Considérons un triangle Δ de . Nous notons (A,B,C) ses sommets. Lorsque
est un espace euclidien, nous notons aussi a,b,c les mesures de ses côtés et α,β,γ
celles de ses angles, conformément à la figure 2.
Les vecteurs
et
étant
linéairement indépendants, ils forment une base de qui est de dimension 2. Un produit
scalaire g de
est entièrement déterminé par les nombres
 | (1) |
Signification de p, q et r Il est clair que
 | (2) |
En particulier,
]0,π[ des valeurs arbitraires et on ne peut le faire que d’une seule
manière.
 | (3) |
vu (1). Nous retrouvons ainsi le théorème de Pythagore généralisé. Avec les relations précédentes, celle-ci montre également que
Proposition 2.2 Lorsqu’on multiplie un produit scalaire par le carré d’un nombre positif, les mesures des côtés du triangles sont multipliées par ce nombre.
A cette formule, nous pouvons encore ajouter celle donnant les angles β et γ de Δ.
 | (4) |
On obtient par exemple la première en écrivant
Convexité de l’ensemble des produits scalaires Pour que des nombres (réels) p,q,r définissent un produit scalaire grâce aux formules (1), il faut et il suffit que la matrice symétrique
soit définie positive. Cela signifie exactement que p > 0 et pq - r2 > 0.
Ceci nous donne une représentation géométrique de
+(
)
dans IR3 qui illustre de façon claire que c’est un cône
convexe(2). En particulier,
si g1,…,gn +(
)
et si la somme des nombres positifs a1,…,an est 1, alors
est aussi un produit scalaire sur
.
Voici une illustration de cette propriété. D’après la Proposition 2.1, si X est
un sommet d’un triangle, il existe un unique produit scalaire gX pour
lequel le triangle est rectangle en X et les deux côtés issus de X sont de
longueurs 1. D’après le théorème de Pythagore, l’hypothénuse mesure alors
.
Proposition 2.3
A multiple positif près, il n’y a qu’un produit scalaire pour lequel le triangle de sommets (A,B,C) est équilatéral, à savoir
Preuve. On a
Pour gA et pour gB, la mesure du côté [A,B] est 1, tandis que pour gC, ce côté
mesure 
car c’est l’hypothénuse. Par conséquent, dans (,g) le triangle est
équilatéral puisque ses côtés mesurent tous
D’après la Proposition 2.2, lorsqu’on multiplie g par 3ℓ2∕4, où ℓ est un nombre positif quelconque, le triangle reste équilatéral mais la taille de ses côtés devient ℓ. D’après la Proposition 2.1, (3ℓ2∕4)g est le seul produit scalaire pour lequel le triangle est de cette forme. D’où la propriété.
Mesure d’aire Lorsqu’on s’intéresse seulement aux formes de triangles semblables, on ne s’intéresse pas aux longueurs des côtés. On peut donc convenir de normaliser le triangle en fixant une grandeur qui lui est associée. On peut par exemple fixer à 1 le rayon du cercle circonscrit ou imposer l’aire du triangle.
Preuve. En effet, d’après nos souvenirs de l’école primaire, S est “la moitié du produit de la base par la hauteur”. Considérons la hauteur issue de C. Elle vaut b sin α. Comme sin α > 0,
Donc,
L’équation pq - r2 = 4S2 définit un hyperboloïde à deux nappes de IR3. En ajoutant la condition p > 0, on en sélectionne une nappe, qui représente donc l’ensemble des produits scalaires pour lesquels l’aire du triangle Δ vaut S (on suppose que le nombre S est positif).
La formule de Héron A ce stade, il est facile d’obtenir une expression de S à l’aide des mesures des côtés. On l’appelle la formule de Héron.
Proposition 2.5 Notons p la moitié du périmètre a + b + c du triangle Δ
de (,g). On a
Preuve. D’après le théorème de Pythagore généralisé, 4r2 = a2 - b2 - c2. Donc
![16S2 = 4b2c2 - (a2 - b2 - c2)2
= (2bc + a2 - b2 - c2)(2bc - a2 + b2 + c2)
2 2 2 2
= [a - (b - c) ][(b + c) - a ]
= (a + b - c)(a - b + c)(b + c + a )(b + c - a)
= 16p (p - a)(p - b)(p - c).](orthocentre_mp37x.png)
