1 Introduction

Sous un titre paradoxal, ce texte aborde une question tout à fait sérieuse. On peut l’envisager selon plusieurs points de vue. Initialement, je l’ai présentée à mes étudiants dans le but d’illustrer la notion d’espace affine euclidien. Il s’agissait alors de faire voir de façon frappante à quel point les notions métriques sont tributaires du produit scalaire définissant la structure euclidienne. Dans cette optique, assez abstraite, on se donne un triangle Δ₀ d’un plan affine . On fait alors observer que, pour chaque structure euclidienne de , c’est-à-dire pour chaque produit scalaire g de l’espace vectoriel

sur lequel est modelé, Δ₀ possède un orthocentre H_g dont la position varie avec g. On se demande alors s’il est possible de déterminer le lieu décrit par H_g quand g balaye l’ensemble des produits scalaires de

. Dans le même registre, on examine la possibilité de choisir g pour donner à Δ₀ une forme particulière. On en profite pour faire toucher du doigt le fait que l’ensemble des produits scalaires est un convexe de l’ensemble des formes bilinéaires sur

.

On peut considérer les choses autrement, en fixant une fois pour toute un produit scalaire g₀ sur et en étudiant les positions relatives de l’orthocentre des triangles Δ de l’espace euclidien (,g₀). Par convention, la position relative d’un point par rapport à un triangle Δ est décrite par les coordonnées barycentriques du point par rapport aux sommets de Δ(¹).

Voyons comment faire le pont entre les deux approches. Pour tout triangle Δ, il existe une affinité a de qui applique Δ₀ sur Δ (unique si, comme nous le supposons, les sommets des triangles sont ordonnés et si a respecte cet ordre, voir la note en bas de page (1)). Dans cette affinité, il y a un point H_Δ qui est appliqué sur l’orthocentre H de Δ et, les coordonnées barycentriques étant préservées, la position relative de H_Δ par rapport à Δ₀ est la même que celle de H par rapport à Δ (voir figure 1). En même temps, la formule

où

est l’application linéaire induite par a sur

, définit un produit scalaire g de

et, par construction, a : (,g) → (,g₀) est une isométrie. En conséquence, H_Δ = H_g et on voit qu’en laissant varier Δ ou en laissant varier g, on décrit le même ensemble de points relativement à Δ₀.

Les deux points de vue considérés sont donc équivalents.

Forme des triangles Incidemment, nous venons de répondre à une question posée ci-dessus : en choisissant convenablement le produit scalaire, on peut donner à Δ₀ une forme arbitraire. Par exemple, on peut en faire un triangle isocèle, rectangle, etc. en choisissant Δ de la forme correspondante. Ici, nous considérons que deux triangles ont même forme s’ils sont isométriques. C’est un peu plus faible comme notion que ce qu’on pourrait imaginer plus naturellement, à savoir ne pas distinguer deux triangles semblables. A l’autre extrémité, on pourait parler de la forme affine d’un triangle, c’est-à-dire ne pas distinguer deux triangles images l’un de l’autre par une affinité : il n’y aurait alors qu’une seule forme affine de triangle. La notion de forme dépend finalement du groupe des transformations qui laisse invariantes les propriétés définissant cette notion : définir un type de forme revient à choisir ce groupe. Au surplus, plus ce groupe est petit et plus riche est l’ensemble des formes qui lui sont associées. L’ensemble des formes invariantes sous l’action d’un groupe donné G est ainsi le quotient ∕G de l’ensemble des triangles de par l’action de G. Lorsqu’on prend pour G le groupe des affinités, on obtient un seul point dans ∕G : "le" triangle affine. Lorsque G est le groupe des isométries, on obtient l’ensemble de ce que nous avons appelé les "formes de triangles" ci-dessus. Nous venons de voir qu’il est en bijection avec l’ensemble ₊( ) des produits scalaires de

. Les traditionnels "cas d’égalité" des triangles en donnent d’autres descriptions : par exemple, chaque forme peut être décrite par trois nombres. Deux nombres positifs b ≤ c et un troisième α pris dans ]0,π[ : les deux premiers mesurent deux côtés qui forment un angle dont le troisième est la mesure. Plus symétriquement, on peut aussi la décrire par tois nombres positifs a ≤ b ≤ c qui sont chacun plus petit que la somme des deux autres, et qui mesurent les côtés des triangles de la forme décrite.

Il n’est généralement pas facile de modéliser ce quotient, c’est-à-dire de trouver un modèle raisonnable de chaque classe d’équivalence. Pour un exemple détaillé, le lecteur est invité à lire le texte "Le triangle des triangles" disponible à l’adresse suivante :

Il correspond au cas où on ne distingue pas deux triangles semblables, c’est-à-dire au cas où G est le groupe des similitudes. Il s’agit donc de ₊(

)∕IR⁺ puisque deux triangles dont les côtés sont proportionnels sont semblables. Le triangle des triangles en donne un modèle plus géométrique.

Le présent texte doit beaucoup au fructueux échange qui s’est déroulé sur le Forum M@TH en Ligne (http ://www.forum.math.ulg.ac.be) sous l’intitulé "Quels sont les orthocentres d’un triangle ?" posté le 15/11/2003 dans la rubrique "Divertissement". Merci aux contributeurs "Michel B." et "Lolo" !